Tema 2. Lenguaje, lógica y razonamiento. El razonamiento lógico. La formalización del saber

 

La lógica formal. Lógica de enunciados

 

 

 

I. La lógica y el lenguaje.

 

II. Lenguaje y razonamiento. Razonamiento consistente y válido.

 

III. Tipos de lógica formal.

 

IV. Lógica de enunciados o de proposiciones (enunciativa o proposicional)

 

IV.1. Resolución de tablas veritativas.

 

IV.2. Prueba de consistencia y prueba de invalidez formal.

 

 

 

ACTIVIDADES (Ver actividades concretas al final del tema):

 

 

 

Conceptos. Functores.

 

Tablas de verdad

 

Consistencia y validez.

 

Formalización. Leyes lógicas.

 

 

 

 

 

I. La lógica y el lenguaje

 

¿Qué es la lógica? La lógica es un lenguaje. Pero, entonces, ¿cuántos tipos de lenguaje hay?

 

Podríamos diferenciar múltiples formas de lenguaje. Para empezar, dos grandes tipos de lenguaje:

 

 

 

1. Los lenguajes animales: chimpancés, gibones, abejas, delfines, focas, abejas, etc. Algunos estudios, como los realizados por el etólogo Karl von Frisch (1886-1982) han llevado a descifrar, por ejemplo, el lenguaje de las abejas: mediante una danza en forma de ocho, la abeja que ha localizado alimento transmite al resto del enjambre esta información, a través del ángulo preciso que establece entre la colmena, la posición del sol y el campo de flores. Otros etólogos y estudiosos han precisado con bastante claridad el significado de los aullidos de los gibones, chimpancés y simios en general, mostrándonos que transmiten al resto del grupo las situaciones de peligro, por ejemplo.

 

 

 

2. Los lenguajes humanos. Entre los lenguajes humanos cabría hacer la siguiente tipología:

 

 

 

2.1. Lenguaje natural:

 

2.1.1. Los idiomas o lenguas existentes (castellano, chino, francés, ruso, las distintas lenguas de sordos, etc.).

 

2.1.2. Por otra parte, el lenguaje del «cuerpo prelingüístico», como puede ser la mímica de las emociones y sentimientos (Darwin publicó ya en 1873 una obra titulada La expresión de las emociones en el hombre y en los animales), los sutiles intercambios de información corpórea entre un recién nacido y su madre o, en general, los sensaciones estéticas que percibimos o que transmitimos. Este es el lugar donde el lenguaje animal y el humano encuentran su punto de confluencia más potente.

 

 

 

2.2. Lenguaje artificial:

 

2.2.1. El lenguaje de las máquinas, que está hecho como es notorio por los humanos.

 

2.2.2. Los distintos códigos de señales, de iconos o de normas de funcionamiento como el código de circulación, de morse, de banderas o, de juegos, como el ajedrez.

 

2.2.3. Los lenguajes formales: por antonomasia los símbolos matemáticos y los de la lógica formal. En general, también el lenguaje de las ciencias en cuanto matematizado o estructurado lógicamente. Los lenguajes formales tienen por función no sólo conseguir algún tipo de aplicación sino que están estrechamente ligados a lo que podríamos llamar lógica material, es decir, pretenden reconstruir con su formalización aspectos o partes de la realidad material. La realidad material tendría una materia o ser y, de un modo necesariamente inserto, además, una estructura formal. Estas estructuras formales son las que tratan de desarrollar los lenguajes formales para recorrer más fácilmente el conocimiento de la realidad. Cuando se conocen las pautas de la realidad (como las holográficas o la de la teoría de las catástrofes), los principios (como los de la termodinámica) o las leyes físicas (ley de reflexión y de refracción de la luz, velocidad de la luz, leyes de Kepler, ley de la inercia, ley de la gravitación universal, etc.) no sólo desplegamos estos conocimientos a través de un lenguaje formal sino que conseguimos establecer lo que podría denominarse lenguaje material, es decir, el modo cómo la realidad funciona y cómo es.

 

 

 

En la lógica habría que distinguir, pues, entre la lógica formal y la lógica material. Ambas lógicas se remiten la una a la otra, aunque la lógica formal puede funcionar de manera independiente, en cuanto sintaxis simbólica, con sus reglas y leyes.

 

La lógica formal es un lenguaje artificial, pero que, como todos los lenguajes artificiales hechos por el hombre, mantiene continuos contactos con el lenguaje natural. De este modo, es útil para ordenar y clarificar el propio lenguaje natural (formalizando el lenguaje natural, y avisándonos, por ejemplo, de las falacias) y es imprescindible para la obtención de las verdades científicas y filosóficas propias de lo que podría denominarse «lógica material» de la realidad.

 

 

 

La lógica formal es «la ciencia de los principios de la inferencia formalmente válida». Es decir, la lógica formal es la ciencia que establece la consistencia y validez de los razonamientos o de las argumentaciones. A la lógica formal no le compete discriminar la verdad o falsedad de lo que se dice sino sólo la validez de cómo se dice. Sólo da cuenta del aspecto formal del lenguaje. Por ello a la lógica formal le compete determinar sólo la validez (no la verdad), mientras que a la lógica material se le atribuiría decidir sobre la verdad o falsedad de la realidad. La lógica formal es importante, no obstante, porque la verdad (en cuanto ha de ser comunicada) necesita como paso previo instituirse antes como validez. La lógica material necesita de la lógica formal.

 

 

 

 

 

II. Lenguaje y razonamiento. Razonamiento consistente y válido

 

El lenguaje está compuesto por oraciones (sujeto y predicado). Llamaremos enunciado (o también proposición) a toda oración que sea considerada desde un punto de vista lógico. Sólo las oraciones apofánticas, es decir, las que afirman o niegan, pueden ser analizadas mediante la lógica formal. Una exclamación, una interrogación, o una frase sin sentido que no afirme ni niegue no son tenidas en cuenta por la lógica formal.

 

 

 

Los enunciados pueden ser atómicos (un solo enunciado) o moleculares (varios enunciados unidos de alguna manera lógica). Los enunciados pueden unirse entre sí y formar un nuevo enunciado molecular (afirmo o niego esto y esto y esto o esto, por esto y esto): [(p V q) Λ r], o también: [(p ® q) Λ r]. Pero además los enunciados pueden configurarse entre sí de manera que uno de ellos (o varios unidos) se destaque entre los demás figurando como la conclusión: [(p ® q) Λ p] ® q. En este caso, la parte de la fórmula que hace de antecedente se llaman premisas [(p ® q) Λ p], y la parte que hace de consecuente es la conclusión (® q). Cuando el conjunto de enunciados se organiza en premisas de las que se extrae su conclusión correspondiente estamos ante el razonamiento. El razonamiento consta, entonces, de premisas y conclusión, así: (Premisas ® Conclusión), unidas las premisas a la conclusión por el conector implicación (®), también llamado condicional.

 

 

 

La lógica formal es a la sintaxis (reglas de construcción del lenguaje) lo que la lógica material es a la semántica (contenidos del lenguaje). Por ello, la lógica formal no decide sobre la verdad o falsedad de las cosas, porque no entra a considerar su contenido, sino que sólo determina la validez o no del ensamblaje de los enunciados. La verdad será indagada posteriormente por la ciencia y la filosofía, una vez asegurada la validez. Mientras que la validez equivale a la «verdad formal», la verdad se refiere no sólo a la «verdad formal» sino además a la «verdad material».

 

 

 

Cuando los enunciados unidos no son contradictorios entre sí, se dice que son consistentes. Para determinar la consistencia de un razonamiento, sólo se tienen en cuenta sus premisas conjuntamente consideradas. Un conjunto de enunciados es inconsistente cuando dos de ellos (al menos) se contradicen necesariamente.

 

 

 

Y cuando la conclusión se sigue necesariamente de las premisas (después de demostrar que las premisas son consistentes entre sí), entonces, estamos ante un razonamiento válido. La validez expresa la «verdad» formal (no la verdad material) de una fórmula lógica; pero la validez sólo es verdaderamente válida, cuando es además consistente. La validez expresa que la conclusión que hemos extraído de esas premisas determinadas y consistentes es verdadera (formalmente).

 

 

 

 III. Tipos de lógica formal

 

Hay múltiples tipos de lógica formal. Todos estos tipos tienen algo en común y están estrechamente relacionados pero no conforman un todo homogéneo puesto que dependen de los campos precisos de aplicación o del nivel en el que nos hallemos en el análisis del lenguaje natural.

 

 

 

Básicamente se reconocen cuatro grandes ramas en la lógica formal: A) lógica de enunciados o de proposiciones: enunciativa o proposicional. B) Lógica de predicados. C) Lógica de relaciones. D) Lógica de clases.

 

La primera diferencia que hay que señalar entres estos tipos de lógica es que mientras que la lógica de enunciados se ocupa de las conexiones establecidas entre los distintos enunciados (o letras enunciativas), las otras tres lógicas (predicados, relaciones y clases) analizan internamente los componentes de los enunciados en cuestión, es decir, analizan las distintas relaciones que se establecen entre los dos componentes fundamentales del enunciado: el sujeto y el predicado.

 

 

 

Todo enunciado o proposición se compone de un sujeto y de un predicado, y como la forma de predicar del predicado sobre el sujeto es distinta, según los casos nos las habremos con la lógica predicativa, de relaciones o de clases. Pero cuando no se entra en el análisis de la relación sujeto-predicado sino en la conexión entre los distintos enunciados, estamos ante la lógica enunciativa.

 

 

 

Lógica de enunciados. Es la lógica fundamental y básica, sin la cual las otras lógicas no podrían funcionar por sí mismas, puesto que ya hayamos analizado el interior del enunciado (compuesto por sujeto-predicado) o no, la conexión que los distintos  enunciados establecen entre sí sólo es reconstruida por la lógica enunciativa o proposicional. Las demás lógicas añaden algo nuevo a la de enunciados, pero todas necesitan de ella. La lógica de enunciados pone orden entre el conjunto de proposiciones o enunciados, analizando el valor de sus conexiones, y pone entre paréntesis el estudio de la relación interior a cada proposición entre el predicado y el sujeto, dejando esta cuestión a las demás lógicas que la complementan.

 

 

 

Lógica de predicados. Si lo que se predica se refiere a un sujeto cuantificado (todos, algunos, ninguno), entonces la formalización habrá de desarrollarse según la lógica de predicados, también llamada cuantificacional. Ejemplo: «Todos los rectángulos tienen las diagonales iguales; esta figura es un rectángulo; luego esta figura tiene las diagonales iguales». Esta fue la lógica que fue estructurada en los inicios de la filosofía, por Aristóteles, a través de su teoría del silogismo. Con el desarrollo de las lógicas modernas, a partir sobre todo del siglo XIX y XX, la teoría del silogismo admite una formalización cuantificacional, que queda naturalmente unida, y por ello también reforzada, a la lógica de enunciados.

 

 

 

Lógica de relaciones. Si lo que se predica marca una relación entre dos o más sujetos que aparecen en el enunciado, entonces deberá formalizarse y operarse con la ayuda de la lógica de relaciones. Ejemplo: «Manuel es padre de Mariano; Mariano es padre de José; luego Manuel es abuelo de José». Ser padre de, o mayor que o vecino de, etc., es analizado por la lógica de relaciones.

 

 

 

Lógica de clases. Si lo que se predica se refiere a un sujeto o sujetos en tanto que elementos componentes de una clase, entonces deberemos trabajar con la lógica de clase. Ejemplo: «Los apóstoles son doce y los evangelistas son cuatro; si tenemos en cuenta que la clase de los apóstoles y la de los evangelistas tienen dos elementos en común, puesto que dos son a la vez apóstoles y evangelistas, entonces la clase de los apóstoles más la de los evangelistas está compuesta de catorce elementos». La lógica de clases, cuando se traslada al ámbito de las matemáticas, se transforma en la lógica de conjuntos.

 

 

 

Además de estos cuatro tipos de lógica, considerada la lógica clásica, se desarrollan en la actualidad otras modalidades. Las lógicas clásicas son bivalentes, es decir, funcionan bajo el principio de que sólo hay dos valores posibles para cada enunciado o conjunto de enunciados: verdadero y falso. Pero no todas las lógicas son bivalentes. Llamaremos lógicas polivalentes a aquellas que introducen más de dos valores de verdad en su funcionamiento. Además, entre las lógicas no clásicas, pueden citarse la lógica intuicionista, la lógica modal y la lógica borrosa, entre las más significativas.

 

 

 

IV. Lógica de enunciados o de proposiciones (enunciativa o proposicional)

 

Cuando tomamos las frases, oraciones o proposiciones como «todos», sin preocuparnos por su forma, ni composición, podemos fijarnos en las partículas conectivas (conjunciones) que vinculan unas a otras. Esta forma de razonar molecular se atiene a lo que se llama «lógica proposicional» o «lógica de enunciados».

 

 

 

Históricamente fueron los estoicos los primeros en percatarse de la existencia de esquemas de inferencia subyacentes en el lenguaje ordinario, tales como el modus ponens, el modus tollens, etc. Aunque sus construcciones no pueden interpretarse en el sentido formalista que hoy tienen, pues los estoicos creían que estos razonamientos estaban fundados realmente en la estructura del universo material, iniciaron tímidamente un proceso de simbolización. Advirtieron que un condicional de la forma «si esto, entonces aquello» es un esquema para frases compuestas «si llueve, entonces las calles se mojan» o algoritmos «si x, entonces y». Sustituyeron las proposiciones o variables de estos esquemas por símbolos numéricos y simbolizaron el modus ponens, por ejemplo, de acuerdo con el siguiente esquema: "Si lo primero, entonces lo segundo; lo primero; por tanto lo segundo".

 

 

 

En la actualidad, la lógica de enunciados se considera como un cálculo formal, porque ha sido completamente algoritmizada, constituye un algoritmo cerrado. Se trata, sin duda, de la célula gnoseológica más cerrada y perfecta de la lógica, al tiempo que de su núcleo más elemental. Si acordamos simbolizar las proposiciones por las letras p,q,r,s,t... y las conectivas lógicas o functores por los simbolos: Ø(negación), Ù(conjunción), Ú(disyunción), ®(condicional), etc. una presentación completa de este algoritmo, comienza distinguiendo functores monádicos (los que afectan a una sola proposicion, p), diádicos (a dos, p,q), poliádicos, etc. Basta la negación (¬ p) como functor monádico.

 

 

 

En cambio, cualquier cálculo utiliza por lo menos dos de las 16 conectivas lógicas, que son todas las combinaciones posibles entre dos proposiciones cualesquiera p y q. Puesto que la combinatoria se realiza a priori, no ha podido extraerse del lenguaje natural, desde el que se la interpreta en muchas ocasiones. De ahí que lo mejor para definir el sentido de las conectivas diádicas sea fijarnos en las conexiones veritativas que presentamos mediante la siguiente tabla:

 

 

 

p,q	pTq	pÚq	p¬q	pûq	p®q	pëq	p«q	pÙq	p½q	pWq	péq	Ø (p®q)	pùq	Ø (p¬q)	p¯q	p^q
1 1	1	1	1	1	1	1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0
1 0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0
0 1	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0
0 0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0
	¦1	¦2	¦3	¦4	¦5	¦6	¦7	¦8	¦9	¦10	¦11	¦12	¦13	¦14	¦15	¦16

 

 

 

 

 

No obstante, los lógicos se han esforzado siempre por aproximar el valor de las conectivas proposicionales al valor de las partículas conjuntivas e ilativas del discurso ordinario. Puesto que todas las conectivas pueden expresarse simbólicamente en términos de unas pocas, en virtud de la interdefinibilidad entre los distintos functores, es tópico seleccionar como primitivas aquellas conectivas que tienen una traducción más evidente y usual en los lenguajes naturales.

 

 

 

• Tautología y contradicción son los nombres que reciben, respectivamente, el functor ƒ1 (pTq) y ƒ16 (p^q). Se trata de relaciones funcionales no-sobreyectivas, que ambos constituyen cotas extremas entre las que se desenvuelven los restantes functores y tienen un significado lógico muy especial. La tautología es el ideal que deben cumplir todas las fórmulas verdaderas. Una fórmula proposicional es una tautología cuando es siempre verdadera, con independencia de la verdad o falsedad de las proposiciones simples que contiene. Todas las leyes lógicas y todas las inferencias válidas deben ser tautológicas.

 

La contradicción, por el contrario, es la bestia negra de la lógica formal, el símbolo de la invalidez y la falsedad. Una fórmula proposicional es una contradicción cuando siempre es falsa con independencia de la verdad o falsedad de las proposiciones simples que contiene. Probar que una fórmula es contradictoria o que una inferencia conduce a contradicciones equivale a declarar su nulidad lógica. La contradicción parece, así pues, cerrar el camino al avance de la razón, del razonamiento.

 

 

 

Cuando una fórmula proposicional no es tautológica, ni contradictoria se dice que es indeterminada y se habla de indeterminación. Por analogía, se habla de expresiones empíricas o factuales, por cuanto contienen una combinación de valores veritativos 1 y 0. Hay procedimientos para decidir si una fórmula proposicional es tautológica, contradictoria o indeterminada y por eso la lógica proposicional es un algoritmo operatorio.

 

 

 

• La disyunción débil o alternativa, ƒ2, aunque se corresponde con la partícula «o» del lenguaje natural no coincide exactamente con ella. El «o» castellano confunde el functor pÚq con pWq, que, sin embargo, los latinos distinguían con dos partículas diferentes vel y aut respectivamente. El análisis veritativo de las tablas ƒ2 y ƒ10 nos da la clave de la diferencia. En efecto, pÚq (1,1,1,0) pueden ser verdaderas simultáneamente. En cambio, pWq (0,1,1,0) excluye esa posibilidad. Suele denominarse por ello disyunción fuerte o exclusiva. El privilegio de la alternativa no se debe a razones lingüísticas, sino a su gran versatilidad operatoria. Constituye la conectiva dual de la conjunción, con la que forma un grupo de transformaciones (grupo de Piaget), da lugar a eminentes tautologías (leyes de De Morgan), reduce la cuantificación existencial y equivale a una suma lógica.

 

 

 

• La conjunción sólo es verdadera cuando sus dos componentes atómicos lo son. Tiene la doble ventaja de ser intuitivamente equivalente a las partículas conjuntivas del lenguaje natural y gozar de una operatividad tan grande como la disyunción. Simbolizamos ƒ8 mediante el signo inverso a la disyunción pÙq (1,0,0,0) para remarcar el carácter dual aludido, aunque antes hemos usado el & inglés. Reduce el cuantificador universal y equivale al producto lógico. Su contradictoria ƒ9, es la incompatibilidad (o barra de Sheffer), p|q (0,1,1,1) que se obtiene simplemente negando pÙq:  ¬ (pÙq) ºp| q.

 

La conjunción  y la disyunción débil o alternativa han eclipsado completamente a sus respectivas negaciones, la incompatibilidad de Sheffer (p|q) y la negación conjunta de Peirce, ƒ15 (p¯q), que gozan de mayor capacidad reductora que ellas, porque incluyen la negación en su seno.

 

 

 

• El condicional, ƒ5, es quizá el functor que más controversia ha suscitado desde los estoicos, por dos razones: (a) Su uso no coincide exactamente con su interpretación castellana en términos de "si p, entonces q", como se lee p®q (1,0,1,1). (b) Tiende a confundirse con la relación de implicación en sentido estricto, que establece que de p"se sigue necesariamente"q.

 

 

 

El primer escollo se salva aludiendo a la gran capacidad operatoria del condicional, porque es capaz de reducir a todos los demás functores con la sóla ayuda de la negación y porque forma, con ƒ3, la replicación (p¬q) (1,1,0,1), que es su conversa, y las negaciones de ambos, ƒ12 Ø(p®q)(0,1,0,0) de la implicación y ƒ14 de la replicación Ø(p¬q)(0,0,1,0) un grupo de transformaciones muy manejable. Por lo demás, no es inusual el uso irónico  del condicional en las lenguas vernáculas que ilustra el adagio latino: «verum ex quodlibet et ex falso quodlibet» («la verdad de lo que se quiera, y de lo falso lo que se quiera»). Si el consecuenteq vale 1, da igual lo que valga el antecedente p; la condición se cumple. A su vez, si el antecedente es falso (0), da igual lo que digamos del consecuente: la condición se cumple («si tú eres Napoleón, yo soy la reina de Saba»).

 

 

 

La segunda dificultad se salva distinguiendo entre el condicional p®q, que sólo establece una implicación material entre dos proposiciones atómicas de forma externa y  extensional, sin ocuparse del contenido o intensión de las mismas y la implicación formal o estricta, que se establece entre dos conjuntos de proposiciones moleculares (A╞ B) dependiendo de sus relaciones internas o intencionales, que a veces se distinguen por el grafismo. Aquí reservamos el nombre de implicación para todas aquellas expresiones condicionales que sean tautológicas, porque cuando se produce una tautología, el condicional deja de ser un functor, una aplicación sobreyectiva, y se convierte en una relación.

 

 

 

• Con el bicondicional, ƒ7 ocurre algo similar, aunque menos acusado. Por p↔q se entiende un functor que arroja valor 1 sólo en el caso de que p y q tengan simultáneamente  el mismo valor de verdad. En caso de disparidad veritativa, el resultado es 0. Se trata exactamente de la negación de la disyunción fuerte o exclusiva, por lo que no hay  nada extraño en que el uso del functor W sea poco frecuente en los cálculos. La mayor potencia del bicondicional, es causa también de sus dificultades interpretativas. Suele confundirse el bicondicional (p↔q) (1,0,0,1), que se lee como «p si y sólo si q», con la equivalencia (p≡q). La distinción corre pareja a la anterior, por lo que se suele llamar equivalencia a todas aquellas expresiones bicondicionales que son tautológicas. En este caso, es meridianamente claro que mientras el bicondicional  es un functor diádico, una aplicación sobreyectiva, la equivalencia es una relación.

 

Si introducimos las tablas veritativas de todos los functores en la memoria de un ordenador, éste podrá calcular automáticamente el valor de verdad de cualquier fórmula del cálculo proposicional por compleja que ésta sea mediante un algoritmo muy simple: la técnica de las tablas veritativas. Harían falta pocas instrucciones en el software, porque el hardware de un computador digital ha sido construido de acuerdo con un sistema binario. Sus circuitos tienen, además, la misma estructura básica que la lógica proposicional bivalente, la lógica de clases, etc. En realidad, la estructura del cálculo proposicional, como hemos repetido, no es un privilegio de los lenguajes naturales. Hay isomorfismo o identidad de estructura en ámbitos aparentemente muy dispares: signos, gráficos, circuitos, grupos, tablas, cálculos, o incluso neuronas cibernéticas.

 

 

 

IV.1. Resolución de tablas veritativas

 

Toda fórmula del cálculo proposicional es una secuencia finita formada por dos clases de signos: variables proposicionales (X) (p, q, r, s, etc.) y conectivas (Z) (los conectores o functores: y, o , si... entonces, etc.). Se puede decidir si una fórmula es una tautología (por tanto demostrable), una contradicción o una expresión indeterminada sin necesidad de llevar a cabo una demostración formal. El cálculo de enunciados tiene la propiedad metalógica de la decidibilidad gracias a la técnica de las tablas veritativas.

 

Veamos las siguientes fórmulas y sus tablas veritativas: 

 

 

(1) (p Ù¬ p) Ù ¬ q 

 

p  q	¬ p	(p Ù¬ p)	¬ q	(p Ù¬ p) Ù ¬ q
1  1	0	0	0	0
1  0	0	0	1	0
0  1	1	0	0	0
0  0	1	0	0	0

 

 

 

Se trata de una contradicción, fórmula inválida para servir de axioma, teorema o regla de derivación.

 

Pero su negación es una tautología.

 

 

 

(2) (p→q) ↔ (¬ p Ú ¬ q)

 

 

 

p q	(p→q)	¬ p	¬ q	(¬ p Ú ¬ q)	(p→q) ↔ (¬ p Ú ¬ q)
1 1	1	0	0	0	0
1 0	0	0	1	1	0
0 1	1	1	0	1	1
0 0	1	1	1	1	1

 

 

 

 

 

La fórmula (2) es una indeterminación: proposición indeterminada o contingente. Tampoco puede usarse como axioma, teorema, ni regla de derivación. Además su  negación tampoco es utilizable lógicamente, porque produce otra proposición contingente.

 

 

 

(3) [(p→q) Ù (q→r)]→ (p→r)

 

 

 

p,q,r	p→q	q→r	[(p→q) Ù (q→r)]	p→r	[(p→q) Ù (q→r)]→ (p→r)
1 1 1	1	1	1	1	1
1 1 0	1	0	0	0	1
1 0 1	0	1	0	1	1
1 0 0	0	1	0	0	1
0 1 1	1	1	1	1	1
0 1 0	1	0	0	1	1
0 0 1	1	1	1	1	1
0 0 0	1	1	1	1	1

 

 

 

Es una tautología, llamada Ley del silogismo (L.S.), que puede usarse como una regla de derivación.

 

 

 

 

 

Si nos fijamos en la resolución de las tablas veritativas (1), (2) y (3), observamos que hemos seguido un procedimiento pautado algorítmicamente, cuyas instrucciones podrían formularse así:

 

(i)Localizar el conjunto X de las variables proposicionales que ocurren  en la fórmula.

 

(ii) Colocar en las primeras columnas, la combinación de valores veritativos resultante de aplicar la fórmula 2^x, encabezando las columnas con p, q, r, …, etc.

 

(iii) Calcular sucesivamente de izquierda a derecha el valor de las proposiciones moleculares afectadas por conectivas desde las de menor extensión (o dominancia) a las de mayor extensión.

 

(iv)Para el cálculo de las instancias simples, ¬p, pÙq, p→q, pÚq,   se toman como valores los que figuran en las primeras columnas para cada letra enunciativa.

 

(v) Para el cálculo de las expresiones con fórmulas moleculares (unidades entre paréntesis), se toman como valores los que resultan en las columnas respectivas.

 

(vi) El proceso termina cuando se calculan los valores veritativos del functor principal que relaciona la primera parte de la fórmula con la segunda.

 

 

 

IV.2. Prueba de consistencia y prueba de invalidez formal

 

Prueba de consistencia. Sobre cualquier fórmula lógica podemos determinar su consistencia o inconsistencia. Si es posible dar valores de verdad a los distintos enunciados de tal modo que cada uno de los enunciados sea verdadero, dando los mismos valores de verdad a los enunciados que comparten y, en consecuencia, al unirlos,  el conjunto de todos ellos sea verdadero, entonces habremos probado su consistencia. De este modo, se demuestra que es posible que todos sean verdaderos a la vez.

 

 

 

Si, por el contrario, alguno de los enunciados no es posible hacerlo verdadero, al dar valores de verdad conjuntos, entonces estaremos ante una inconsistencia. Se demuestra que necesariamente uno de los enunciados, al menos, es falso.

 

 

 

Ejemplos:                 1º)      (p → q) Λ  (p V q)                            

 

                       

 

                                   p→q    }          V(p)=1; V(q)=1   } Pr.V        CONSISTENTE

 

                                   p V q   }          V(p)=1; V(q)=1   } Pr.V       

 

                                              

 

 

 

                                   2º)      [(p Λ q) Λ (p→r)] Λ  ¬ r

 

                       

 

                                   p Λ q   } V(p)=1; V(q)=1 } Pr.V

 

                                   p→r     } V(p)=1; V(r)=1} Pr.V                     INCONSISTENTE

 

                                   ¬ r       } V(¬ r)=0        } Pr. F (necesariamente)

 

 

 

Prueba de invalidez formal. Una vez que partimos de una fórmula consistente ya podemos proceder a demostrar su invalidez y, en caso de que ésta sea imposible, su validez. Para que tenga sentido hablar de invalidez o validez es preciso que la fórmula lógica sea un razonamiento, es decir, que esté compuesto por varias premisas (en el límite una) y por una conclusión. Cuando de las premisas deriva necesariamente la conclusión (previa demostración de su consistencia), estaremos ante un razonamiento válido (que equivale a tautológico).

 

 

 

Dado un razonamiento, se comprueba la consistencia o inconsistencia de las premisas (la conclusión aquí no interviene). Si es inconsistente, entonces por esa misma razón será también inválido. Si es consistente, podrá ser válido o inválido. Se procede, primero, a probar su invalidez (caso de que sea posible), del siguiente modo: 1º) se parte de la conclusión falsada: se dan valores de falsedad al enunciado (o enunciados) incluido en la conclusión; 2º) se procede, desde la conclusión falsada, a hacer verdaderas todas las premisas, dando valores de verdad a los enunciados componentes de modo que cada premisa resulte verdadera. Todos los valores han de establecerse conjuntamente, es decir dado un enunciado, “p” por ejemplo, ha de recibir el mismo valor en todos los casos, es decir, en las premisas y en la conclusión. 3º) Si se consigue que todas las premisas sean verdaderas, desde la conclusión falsada, entonces es que el razonamiento es inválido (V→F) (en tablas de verdad: contradicción o indeterminación); 4º) si resulta imposible dar valores de verdad y hacer verdaderas a todas las premisas, desde la conclusión falsada, entonces es que el razonamiento no pudiendo ser inválido es válido (tautología en tabla de verdad).

 

 

 

Caso1º)

 

CONCLUSIÓN                    Falsada                       F

 

 

 

Premisa 1                                Verdadera                  V

 

Premisa 2                                Verdadera                  V

 

 

 

 

 

 

 

El functor principal del razonamiento (condicional) queda así: V→ F } Razonamiento falso, INVÁLIDO

 

 

 

Caso 2º)

 

 

 

CONCLUSIÓN                    Falsada                       F

 

 

 

Premisa 1                                Verdadera                  V

 

Premisa 2                                Verdadera                  V

 

 

 

 

 

El functor principal del razonamiento (condicional) queda así: F→ F } Razonamiento verdadero: VÁLIDO

 

A C T I V I D A D E S

 

 

 

I. Tablas de verdad

 

 

 

0. Interpretar los símbolos siguientes, por sus valores de verdad y traducir al lenguaje natural:

 

 

 

→;  ↔;   ¬;   V;   Λ;  W; ├

 

 

 

1. Hallar por tablas de verdad si son tautológicas, contradictorias o indeterminadas las siguientes proposiciones (diferenciar las proposiciones complejas y los razonamientos. Identificar, en su caso, leyes lógicas):

 

 

 

1. (p Λ ¬p) Λ ¬q

 

2. (p  →  q) ↔ (¬p V¬q) 

 

3. [(p  →  q) Λ p ] → q

 

4. [(p  →  q) Λ q ] → p

 

5. [(p  →  q) Λ ¬q ] → ¬p

 

6. [(p  →  q) Λ ¬p ] → ¬q

 

7. (p  Λ ¬p) → r

 

 

 

8. p  →  (q  V  r)

 

9. [(q →p) → r] → r

 

10. [p → (q → s)] Λ [(s Λ q) → p]

 

11. [p → (q → s)] Λ [(s Λ q)] → p

 

12. [(p  →  q) Λ (q → r)] → [(p  →  r)

 

13. (p V q)  ↔ (q  ↔  p)

 

14. (p W¬ q) V  (q  →  p)

 

15. (¬ p  Λ  ¬ q)  →  ¬ (¬ p  V  ¬ q)

 

16. { [(p V  q) Λ (p →  r) ] Λ (q → r) }→  r

 

 

 

II- Probar la validez o invalidez de los razonamientos siguientes, por tablas veritativas:

 

1. p V q;  ¬ p;   ├  q

 

2. p → q;   r → s;   p V  r;  ├   q  Λ  s

 

3.  ¬ (p  ↔  s);   q  →  p;  s;   ├  ¬ p

 

4.  ¬ s  → p;   q  →  r;    r ↔  q;   ├   p Λ  q

 

 

 

III- Probar primero la consistencia o inconsistencia de los razonamientos siguientes, por tablas veritativas y por la prueba formal de consistencia; y después la validez o invalidez:

 

1. p →  q;  p V q;  ├  p

 

2. p; p→  q;   ├ q V ¬ r

 

3. p Λ(p →s); (q → s) → (s V p); ├ p V s

 

4. p → q;  r → s;  p V r;  ├   q Λ s

 

5. (p Λ  q)  →  r;   (r  Λ  p)  →  q;   q;   ├   p

 

6. p  → q;   ¬ p  → r;   r;   ├   ¬ p

 

 

 

 

 

IV-Probar la validez o invalidez de los razonamientos siguientes mediante la prueba de invalidez formal:

 

 

 

1.  p → q;   r → s;   p V r;   ├  q V s

 

2.  (q  Λ  r)  V p;   q  Λ (r  Λ  p);   ├  p

 

3.  p V (q  Λ  r);   s  →  ¬ r;   ├   p  ↔  ¬ s

 

4.  (p  ↔  q)  Λ  (r  →  s);   ¬ q  V  ¬ s;   ├   ¬ p   V¬ r

 

 

 

V. Hallar la consistencia y la validez de los siguientes razonamientos. Demostrar, además, formalmente, siempre que proceda. (Puedes convertir la conclusión y las premisas en una fórmula para hallar también por tablas de verdad. Verás que algunas se vuelven demasiado largas).

 

 

 

1.         ├ q                              2.         ├ q  Ú  ¬ r                              3.         ├ p Ù(p Ú q)              

 

-(1) (q Ú p) Ù q                                   -(1)      p                                 -(1)  p

 

                                                           -(2)      p → q  

 

 

 

4.         ├ p Ú s                                   5.         ├ s Ù q                                   6.         ├ r Ú q

 

            -(1) p  Ù (p →s)                      -(1) p → q                               -(1) r Ù p        

 

            -(2) (q → s) → (s Ú p)            -(2) p Ú r                               

 

                                                           -(3) r → s

 

7.         ├ p                              8.         ├ ¬ q                                      9.  ├  z           

 

            -(1) q Ú s                                -(1) (q Ú s) → ¬ q                   -(1) p → (q → z)

 

            -(2) q → p                               -(2) q                                      -(2) p Ù q

 

 

 

10.       ├ (q Ù r) → (z  Ú  ¬s)    11.   ├ (r → t) Ù  [(s Ù r) → ¬ p]      12.    ├ s

 

            -(1) ¬s →[ r→( t Ú q)]                       -(1) p →q                                -(1) (p →q)→s

 

            -(2) (s Ù q)→ ¬r                     -(2) q→ ¬r                              -(2) r → ¬p

 

            -(3) t→ (z Ú ¬q)                     -(3) ¬ (¬p ↔r)                                    -(3) ¬ (¬t Ú u)

 

                                                                                                          -(4) (¬r Ùt) →q

 

                                                                                                          -(5) ¬ (r Ù ¬p)

 

VI- Formalizary hallar la consistencia y validez de los siguientes casos(hágase, según convenga, por cualquiera de los métodos).  (Valórese el nivel de ambigüedad del lenguaje ordinario):

 

 

 

1. Este hombre o es abogado o es parlamentario. Pero o no es parlamentario o lo habría visto en las sesiones plenarias. No le he visto jamás en tales sesiones. Luego no es abogado.

 

2. Si no es cierto que no bromeo, entonces llueve. Y si llueve no hace frío. No es verdad que no haga frío. Luego no bromeo.

 

 

 

3. [El detective Martínez dispone de los datos siguientes]:

 

        -O el crimen se cometió de noche o el sospechoso es ciego.

 

        -Si el sospechoso no es ciego, entonces miente al decir que no vio nada.

 

        -O no miente o está estropeado el detector de mentiras.

 

        -El detector no se estropea nunca.

 

        -De aquí se deduce que el sospechoso es ciego y que el crimen se cometió de noche.

 

 

 

4. Si ahorro te compraré un regalo; si te lo compro estaré satisfecho de mí mismo; o no ahorro o no te compraré un regalo. Luego no estaré satisfecho de mí mismo.

 

 

 

5. Los matrimonios podrían ser buenos, al menos durante un cierto tiempo, si hubiera armonía y satisfacción sexual. Para que eso ocurriera haría falta una educación que favoreciera la sexualidad, una experiencia sexual prenupcial y una emancipación con respecto a la moral convencional. Ahora bien: estos mismos factores que son los que permitirían realizar buenos matrimonios significan, al mismo tiempo, la condena de esta institución. Luego en los matrimonios no hay armonía y satisfacción sexual.

 

 

 

6. La puerta no está cerrada; si y sólo si entran los alumnos y el profesor, entonces hay clase; la puerta está abierta o está cerrada; si la puerta está cerrada, entonces necesariamente entran alumnos y profesor. Luego hay clase.

 

 

 

7. Si Ernesto engorda su novia le dejará plantado; Ernesto come mucho cochinillo y adora el vino tinto con sifón; si Ernesto come mucho cochinillo, necesariamente engorda. Luego Ernesto adora el vino tinto con sifón y su novia le dejará plantado.

 

 

 

8. [Mister Sherlock Holmes intenta esclarecer el misterioso asesinato de Flash Gordon. La policía le ha comunicado que han detenido al presunto asesino: Supermán. He aquí las cavilaciones que lleva a cabo Sherlock Holmes]:

 

-Si Supermán cometió el crimen es que no estaba en el apartamento de la víctima o salió antes de las once.

 

        -Si Supermán salió antes de las once, el portero le vio.

 

        -En realidad, Supermán estaba en el apartamento y el portero no  le vio.

 

        -Conclusión: Supermán no cometió el crimen.

 

 

 

9. [Holmes escucha las declaraciones de los tres acusados]:

 

        -Fantomas:  Fantomas no ha sido.

 

        -Barbazul:  El Corsario Negro o Barbazul ha sido.

 

        -El Corsario Negro: Si ha sido Barbazul, ha sido también Fantomas.

 

        -[Sólo con estos datos Holmes afirma]: Ha sido Barbazul.

 

 

 

10. Si Bacon escribió Hamlet, entonces Bacon era un gran escritor. Bacon era un gran escritor. Por lo tanto escribió Hamlet.

 

 

 

11. Si los hombres son buenos, no se necesitan leyes para impedir que hagan el mal; y si los hombres son malos, las leyes no lograrán impedir que hagan el mal. O los hombres son buenos o son malos. Luego, o no se necesitan leyes para impedir el mal o las leyes no logran impedir que se haga el mal.